各位欢迎光临我们的樊登书店,今天我们要讲一本数学书,我知道很多人对数学不太感冒,觉得我从小就不会学数学。但是你相信我,你听完这本书之后,或者你带着你的孩子听完了这本书之后,我保证他一定会爱上数学,因为我就是这样。

大家可以看一下我手上的松塔,你注意观察松塔的这一面的话,你会发现,这个松塔会有正向的螺旋和反向的螺旋。正向的螺旋数有多少个,反向的螺旋数有多少个。你说这个数字有什么好看的?你会发现这个松塔的螺旋数,要么是5,反面是8;要么正面8,反面13;要么13,反面是21。就不会出现8、11,或者是9、6这样的组合,为什么?因为所有松塔的正向螺旋和反向螺旋的数字,一定符合斐波那契数列。

什么叫斐波那契数列?就是斐波那契这个数学家,他就发现,一对兔子还不会生育的时候,它们俩始终是1对,所以第1个月它们俩是1对。然后等到第2个月的时候,它们俩还不会生育,所以还是一对。等到第3个月的时候,它们俩生了1对兔子,所以就变成2对了。等到第4个月的时候,这对兔子又生了1对兔子,而那对小的兔子还不会生育,它们就变成了3对。然后再往后 下1个月的时候,那对小的兔子也过了2个月了,也可以生育了。所以它们那个数列一定是:1 1 2 3 5 8 13 21 34 55。

兔子的繁殖能力是非常强的,每个月都能够生一窝,所以用生育的数字排列下去,就形成了一个关于生殖的数列。所以我为什么对这个案例情有独钟?就你会觉得在自然界当中,我们看着非常自然,非常普通,没有规律的东西,在数学家看来,可能它就暗暗地符合着某一些非常奇妙而又简单的规律,这就是数学的魅力。

所以爱因斯坦曾经说过一句我觉得特别有哲理的话,他说这个世界最难以理解的地方,就是它居然可以被人理解。你看这话说得多棒,就是你会觉得f=ma这么一个公式,就能够概括出来我们的身体的质量,和(加)速度、力之间的关系吗?你会觉得牛顿的万有引力的公式,就能够算准一个多重的东西和另外一个东西之间,会产生多大的吸引力,然后我们为什么会站在这个地球上?更可怕的是E=mc²,就是爱因斯坦发现了这么简洁美好的一个公式,就让我们知道了质量和能量之间转换的这种规律。

所以这个世界很有可能,是有着它天然的数学的原理的。如果一个人不懂数学,就像柏拉图那时候,在教哲学的时候,他会在门上写一个标语,叫作“不懂几何者严禁入内”。就是你没有资格探索这个世界,这个宇宙的奥秘。

所以今天我们就来讲《万物皆数》这本书,让大家理解数学和我们的生活有着什么样的关系,数学到底是怎么发展起来的。万物皆数这句话是谁说的?是非常著名的——我们在《生活的哲学》那本书里,介绍过的一个人叫毕达哥拉斯。他说:“万物皆数”。那么首先我们要解决的就是数学的第一个里程碑。要说到人类关于数学的第一个里程碑,那就是数字是怎么从被计量的物体当中解放出来的?我们今天看各种各样的东西,你会觉得有数字很正常,从0到9 这么发明出来,然后重新组合就行了。十进制,谁脑子里没有这个概念?但是你想想看我们的先人怎么会有十进制的概念?我们的先人怎么会画出那么奇怪的符号来代表数字这样的概念?

最早人们有数字的概念,是美索不达米亚平原上的那些苏美尔人。这些人要放羊,然后羊多了以后就要贸易,这时候你发现,这个羊出去了多少只,回来了多少只,不知道。然后有的人还会偷羊,拉出去一大堆羊,当然没有数字的概念,少了一半回来,你也没法说,因为不知道。

后来为了让这个事变得可靠,他们想了一个特别呆萌的好办法,就是现在我们在美索不达米亚的那些博物馆里边还是能够看到这样的文物。就是用泥巴做成的小球,在这个小球里边放着很多筹码,一个筹码代表一只羊。然后怕你中间羊群主人更改,所以他们将那筹码全部放在那个小球里边烧起来。烧完了以后整个小球密闭的,谁也没法改变。

但是这个东西有个麻烦是什么?就是每次只能贸易一次,贸易一次敲掉就完了。那如果你说我这群羊要卖给好几波不同的人,就没法搞了,因为那个小球你不能随时烧,这就很麻烦。他们说这怎么办?这些人琢磨,琢磨出来一个什么办法?干脆我把这个筹码既装在这个小球里边,我也刻在这个球外边,在球外边一道一道地刻上这个筹码。这样的话,里边外边配合着,这就安全了。

你想知道有多少只羊,看一下外边你就知道。然后随着这种贸易方式越来越多,人们慢慢醒过味来,那既然能刻在外面,干吗还要在里边放一些筹码?没理由。因为里边、外边是一样的,所以干吗在里边再装那个筹码?干脆就拿一个泥板,用一块泥板在上面用楔形的那种符号标记,1个 2个 3个 4个,就用这样的方式记各种各样的数。这就是人们在一开始,要去用符号对应数字的这种渴望所产生的一系列的数字。

那时候没有十进制的概念,不同地区所发明的进制都不一样。真正的十进制是哪来的?是阿拉伯数字。我们叫阿拉伯数字,阿拉伯数字并不是阿拉伯人发明的,阿拉伯数字是印度人发明的。然后直到阿拉伯人入侵了印度以后,才把这一套十进制的文明带到了整个阿拉伯地区。然后通过阿拉伯地区,再传到了欧洲,成为了我们今天众所周知的十进制。

这里边有一个非常重要的突变,就是过去我们比如说记3只羊,画的那个楔形符号要画成羊的样子,画3个羊头,代表着这是3只羊。然后你要是3只鸡怎么办?你得画3个小鸡的样子。

所以每一个数字和物体之间是捆绑在一起的,你没法说单独有一个概念叫数字,后来有人就开始发明我干脆就标一个符号,这个符号后边加一个括号,一个羊头,这就代表着数字和羊。这就是我们说的,人类关于数学的第一个里程碑,就是从计量的这个物体当中把数字解放出来,让数字具备了抽象性。就光这一步,我估计就得走上千年,人们才开始逐渐有了数字的概念。

然后接下来我们就要讲数学里边最高级的东西,在那个时代最高级的东西,叫数学世界当中的王后,是谁?是几何学。各位你知道过去很多的哲学家,都讨厌学几何的人。原因是什么?说几何来自于自私。为什么几何来自于自私?

因为人们之所以发展出几何学,是因为那时候的洪水经常泛滥。无论是埃及,还是巴比伦,还是中国,你发现都是在河边。长江、黄河、两河流域、尼罗河河边,在这个河边大家分了很多的土地。土地是个人的财产,结果第二年洪水一发作以后,大家说找不着了,那个土地的边界又没了。然后每次都为这个事打架,每次分不清。

这时候就特别需要一个工作者,叫作绳索调制员,绳索调制员就负责测量土地。然后在那个时候,他们所测量土地,所用的最有效的方法,就是直角三角形。不约而同,古巴比伦、古埃及和中国,同时研究用直角三角形来度量土地的方法,所以我们中国过去就有《九章算术》。《九章算术》就告诉我们,勾三股四玄五这样的勾股定律,这个和毕达哥拉斯他们在西方所研究的几乎一模一样。因为这是自然规律,所以大家都在研究,用三角形去测量。

你知道古希腊的时候,测量员有多牛?亚历山大大帝统一了欧洲、非洲和亚洲的很大片的土地。然后亚历山大帝的国土前所未有的大。他就想知道我这国土面积到底有多大?然后就找一群人,说你们帮我测一下,量一下这个国土面积到底有多大。

各位你想想看,按照那个时候的计量手段,连个尺子都没有,就是一些绳索就这样的东西,然后就一群人开始量。他们测量亚历山大帝的国土面积,怎么测?靠走路的。就是一群人,你要想象一群中壮年的男人排着队,在广袤无垠的大地上一步一步地走过去,然后测量亚非欧跨越三个州的这么大的土地的面积。测量出来的结果,各位,和今天的实际相比误差小于5%。我觉得简直不可思议。

在亚历山大大帝测量了他的土地两个世纪以后,古希腊的数学家埃拉托斯特尼在埃及要做一件大事,什么大事情?他要测量地球的周长。但是他没有派那些皇家测量员们可怜地围着地球走一圈,埃拉托斯特尼巧妙地通过观察塞因市(就是现在埃及的阿斯旺市)与亚力山大港之间的太阳光线倾斜角度的差别,来断定这两个城市之间的距离,应该是地球周长的1/50。

就是他根据那个太阳光线的角度,就是几何学的作用,然后认为应该是地球周长的1/50。然后就测量了这两个城市之间的距离。古埃及的皇家测量员,这一次没有通过数自己的步数来测量,而是通过数他们骆驼的步数来测量。

为什么?因为骆驼这种生物以步伐均匀、稳健而知名。每一步的距离都一样,所以经过一段漫长的沿着尼罗河的旅行,结果出来了,两个城市之间的距离,大概是5000个场。场就是,你可以理解成足球场,一个场的长度大概是157.5米。因此我们的地球周长是25万个场,也就是39375千米。

再一次地,这个结果展现出了惊人的准确度,埃拉托斯特尼的计算误差,仅有2%。也就是我们今天实际的地球周长是40008千米,它只有2%的误差。就是通过数骆驼的脚步和看太阳的光线,算这个角度,算出来的。这就是我们说几何,对于我们当年的人类是多么重要。

所以那个时候有很多几何学家涌现出来。比如说泰勒斯的徒孙毕达哥拉斯就发现了勾股定理,就 a²+b²=c²,但是他那时候不是这样表述的。那时候的表述都是文学性的表述方式。然后刘徽也用不断拆分一个三角形的方式去证明了勾股定理。那时候证明的方式更多的就是用几何的方法来证明。

在这里边泰勒斯起到了一个非常划时代的作用。为什么?泰勒斯提了一个几何上的定理,听起来很简单,说一个圆的任意直径将该圆分为等面积的两部分。就一个圆,直径分成等面积的两部分。咱们大家听了觉得,这需要你说吗?这我们都知道,这没什么好说的。而且在过去,很多人都知道这件事了。但是对不起,这是一个有划时代意义的事情,为什么?这个陈述之所以了不起,并不是因为它的内容,而是他的表达方式。

泰勒斯敢说所有的圆都这样,毫无例外。而同样是表达这一个规则,古巴比伦人、古埃及人、古代中国人,都是举着一个一个的个例,没有把它上升到定理的高度。作者可以不断地重复列举类似的例子,用直径切割一个一个的圆,但是却从来没有人下一个普遍意义上的陈述性断言。而泰勒斯跨越了这个鸿沟,通过这样的操作,泰勒斯明确地给几何图形赋予了抽象的数学对象的地位。

这种思维阶段,正类似于2000多年以前美索不达米亚人,首先将数字从计数的对象上独立出来。所以有了这样的定理才会有后边的推论。我们所有的每一句话都一定有一个前提,就你前边的那个前提得是正确的,你后边这句话的推理才会是正确的。那么一直推到最后最前面那句话是什么?后来一个集大成者叫欧几里得,他写了一本书叫《几何原本》。在今天看来,大家都不知道欧几里得是什么样的人,很有可能欧几里得就不是一个人,他可能是一群人。而这个《几何原本》的再版次数,在全世界仅次于《圣经》。

《几何原本》给出的5条公理,是我们所有几何学其它定理的起点。比如说任意两点能够定义一条线段,然后若一条直线与两条直线相交,在某一侧的内角和小于两个直角和,那么这两条直线在各自不断延伸后,会在内角和小于两直角的一侧相交。

我给大家讲一个案例,就是大家知道徐州有一个汉楚王陵。这个楚王陵最神奇的地方在哪儿?你想那个时候的人修一个墓道,他要求这两条的边一定是要尽量平行的。然后就用当时的工具修了两条平行的墙。现代的人开始测量这个平行的墙有多平行,后来发现这两条平行的墙,如果一直延伸出去的话,它们的交点在西安。就是从徐州一直延伸到西安,这两条平行线才会交汇,就证明做得是多么了不起。所以几何对于我们来讲是很重要的。

在公元前287年,揭秘π这件事的那个人出现了,叫阿基米德。阿基米德最常说的一句话,叫作“尤里卡”。尤里卡是什么意思?就是我发现了,我明白了这样的意思。他在那个浴缸里边泡着,然后看到那个水溢出去,然后说尤里卡,我终于明白了浮力的关系,就是排出的水的重量。

阿基米德研究π是相当精确的。我们对比一下《九章算术》当中,中国人算的《九章算术》当中,这个π的值接近于3,然后用化圆为方的这种方法,大家能够算到3.16。阿基米德算到3.1408到,3.1428之间,大概误差就是0.03%。

人们慢慢地发现这个数字除不尽。这里边跳一下,我们到2015年的3月14号,你看,突然跳到这一天。你们觉得这一天应该是一个什么日子?2015年3月14号。如果用西方的表述数字,来表述出来的话,是3.1415。你看到吗?所以这一天被人们称作π节。这个π节在法国是宏大的庆祝,从一个宫殿里边3.14,然后一直往外写,一直往外写,写到大街上,整条大街到处都贴着π的数字,因为圆周率是无穷无尽的。

你知道圆周率里边,有一个很有意思的现象。比如说我是1976年3月24号出生的,所以我的生日数列就是19760324。这是我自己独有的生日数列。你会发现在π当中一定能够找到19760324这个数列。然后所有人的生日,你们每个人,你们1987什么什么,你们每个人的数列在π当中一定都能够找到,具体在哪一位不知道。有可能在几百万位以后,只要你有这耐心,一定找得到。这个事目前没有证伪,就是所有的人都能找到,这个是事实。但是没法证明这件事,就是你说有什么规律证明这件事,不知道。但是还没有一个人的生日在π当中找不到这样的数列,因为它的确是太长了。

如果我们只学直角三角形,那么勾股定律a²+b²=c²,这就结束了。但你会知道这个世界上,还有很多三角形是不规则的,不规则的三角形是由阿拉伯人来揭示的。你知道人类历史上有一个阶段,你如果学过《人类简史》的话,你会知道有一个阶段最文明的科学,都集中在阿拉伯地区。所以阿拉伯人发现,测量夹角比测量距离更容易。

什么意思?就比如说我要测量一个特别大的三角形的面积,这时候你会发现你要量那么远的地方,你根本去不了,你不可能环游世界。但是如果我把角度能够量出来,这个是很容易的,角度最多的360度,所以我一定能量出来。我如果能够量出这个角度来,我就能够控制那个距离,这个关系是非常了不起的。应该说希腊人是人类历史上第一个建立了三角函数表的民族。现今流传下来的最古老的三角函数表载于托勒密的一本书,叫作《天文学大成》。

对于三角学来说,阿拉伯世界的学者起到了关键的作用。不仅仅因为他们撰写出了更精确的三角函数表,还因为他们对于三角函数的应用。1427年,阿尔·卡西发表了他的著作叫作《算术之钥》。卡西定理的原理,基于修正的毕达哥拉斯定理,也就是说如果一个三角形,不是直角三角形,那么两条较短边边长的平方和就不等于第三条边的平方。然而只需要添加一个修正项,这个等式又会成立了,而这个修正项,是通过计算两条较短边边长之间夹角的余弦得出的(就是我们说的cos那个概念)。直到今天,卡西定理依然是经常使用的三角学的结论之一。

各位你知道,这件事对你们来讲有多重要?你们今天来这个地方的时候,有没有用GPS?如果你用了GPS,你就得感谢卡西,没有他去研究sin、cos,我们根本没法定位这个人在哪儿。你知道你是怎么被卫星发现的?就是你的手机在任何一个地方都会有周围三个基站找到你。这三个基站找到你以后,就形成了很多个三角形,通过快速地计算,你的位置就被精确地确定。你到底在高速公路的边上,辅路,还是主路,桥上,还是桥下,通过这三个基站的信号,通过sin cos的系列转换的运算,只不过不用我们拿手算了,通过计算机,就能够算出你精确的位置。这就是数学,对于我们现实生活的影响。

这是几何学。我们前面讲几何学是数学世界里的王后。那国王是谁?你要知道,在过去都是几何学特别占优。原因是所有的数学几乎都可以通过画图的方式来求解。就像今天的小孩学到三年级以前,老师都经常教他用画图的方式来证明这件事。但是代数的发展实在是太快了,代数的发展很快发展到了画图没法解决的时候。

各位知道你要想研究代数,首先得知道零和负数的这个概念是怎么来的。世界上写出第一个0,圆圈代表0这个数字的人,我们应该记住他的名字,他叫作婆什迦罗。婆什迦罗你听这名是个印度人。

然后婆罗摩笈多,是印度历史上非常著名的数学家,他描述了零和负数。各位你知道零和负数这个概念的发明有多了不起。你比如说我跟大家讲,我说我曾经见过婆罗摩笈多。你们觉得我说的是一句真话,还是一句假话?我说我见过婆罗摩笈多,假话对吗?假话。但是我如果加上一个数字,我说我见过婆罗摩笈多零次,真话。这就变成了真话。

所以数学是一门赋予不同事物以同样名字的艺术。有了零,有了负数,我们可以不去考虑这里边的逻辑语义。我们只需要用加减乘除的方法把它表示出来就可以了。我口袋里有没有钱,有钱,有多少?负的。我的口袋里是负的钱,这就是小孩子们最喜欢玩的游戏。就人们可以去看到或者表达出来很多肉眼看不到的东西,同时赋予它一个人们确切能够理解的意义。这多了不起的一件事,所以我们要感谢印度人。

然后有一个年份很好记,seven eleven,就711年。711年阿拉伯入侵了印度,所以把数学的这些概念,就把这个印度数字带到了阿拉伯世界,然后形成了今天我们所说的阿拉伯数字。然后这时候有另外一个非常重要的数学家出现,叫花拉子米。花拉子米是花剌子模人,但是他可能从小生长在巴格达。这个花拉子米给我们发明了一样非常重要的东西,就是今天很多学生很痛恨的东西,叫作代数学。

代数怎么来的?花拉子米经常会出这样的题,说寻找一个数字,这个数字乘以数字甲,可以得到数字乙。你看就是这样的表述方法,那时候没有加减乘除的符号。大家知道加减乘除这个符号,是一直到文艺复兴时期,才被人们真正发明出来的。

所以花拉子米用了另外一种方法,他的所有陈述的开头都是寻找一个数字,就好像我们说设什么为X,这个就是代数学的鼻祖。花拉子米不断地推动着数学的抽象性和普遍性。那时候如果要证明一个平方问题,就是2的平方、3的平方等于多少,很简单,画图就可以了。平方只需要你从那条边画出一个正方形,这个平方就能够算得出来了。所以那个时候的很多人还是在用几何的方法,在证明数学问题。

但是很快人们就发现了三次方,就是当它有一个三次方的时候,你怎么样用画图的方式来证明它?那再有四次方怎么办?所以这时候你发现,几何逐渐地被代数甩在了身后。然后这时候蒙古人入侵了阿拉伯的世界,我们读过成吉思汗的那些书,你就知道。然后欧洲开始接替成为数学的核心。就是这些数学家基本上都逃亡到欧洲去了。然后欧洲的数学研究开始丰富起来。

在公元16世纪初的时候,这时候有一段特别有意思的故事,就是人类开始征服三次方程。就是在过去人们只会算二次方程,三次方程不会算,所以人们一直以为三次方程无解。这一段故事是充满着戏剧性,而且可以说是数学史上的一出闹剧,特别好玩。

在16世纪初的时候,德尔·费罗费尽了九牛二虎之力,试图让他的竞争者们不要窥探到三次方程解法的秘密。就是德尔·费罗解出了三次方程,但他不跟别人说,他悄悄地跟谁都不讲。这位博洛尼亚的数学家去世于1526年。然后他有几个学生,他传给了他(们),然后德尔·菲奥雷(其中一个学生),压抑不住自己的天性,决定站出来卖弄。他卖弄的办法是,他向全欧洲的数学家发出挑战,说谁能够解出三次方程就算你赢。渐渐地,人们开始传播,说三次方程有可能是可解的,逐渐地传播开来。

1535年一位威尼斯的数学家,尼科洛·塔尔塔利亚接到了德尔·菲奥雷的战书。当时塔尔塔利亚35岁,没有什么名气,但是他们俩决定比拼一下。双方互相给对方开了一张难题清单,这就跟我上中学的时候,跟我的同桌干的事一样,给对方开了一张难题清单。上面各有30道难题,输了的人要支付30桌酒宴的钱,谁输,谁请客。

然后在接下来的几周时间内,塔尔塔利亚面对德尔·菲奥雷的这个三次方程绞尽了脑汁,结果最终在期限到来前几天,他福至心灵,终于发现了三次方程的解析式。于是他花了几个小时的时间把30个三次方程都解开了,赢得了胜利。

然而故事并没有结束,这个塔尔塔利亚也拒绝向公众公布他的方法,一晃就过去了四年,事情回到了过去的原点。然后在这个过程当中,这个三次方程混战的故事传到了一位米兰的数学家(也是工程师)叫吉罗拉莫·卡尔达诺的耳里。

大家听到吉罗拉莫·卡尔达诺这个名字,汽车爱好者应该不会觉得陌生,因为万向接头就叫作卡尔达诺。就是万向接头的发明人就是他。这个卡尔达诺使了特别多的诡计,他在1539年给塔尔塔利亚寄了8道三次方程的题,希望塔尔塔利亚能够告诉他,塔尔塔利亚断然拒绝。

这位米兰学者于是非常气愤,尝试了恐吓的手段,通过发动全意大利的数学家声讨塔尔塔利亚,谴责他狂妄无礼、嚣张跋扈,但是塔尔塔利亚不为所动。后来在1539年,卡尔达诺把塔尔塔利亚骗到了他的家里边,就是骗他来。骗来了以后说,有一个侯爵要见你,这个侯爵要对你进行保护。因为那时候的这些文艺工作者、数学家都需要找到一个领主来保护他。所以这人就去了,去了以后,侯爵根本就不在。

结果他们俩就有好几天,三天的时间相处,在这三天的时间里边,卡尔达诺向塔尔塔利亚发誓,不把这个解析过程公布出来。塔尔塔利亚也将三次方程的解析式告诉了卡尔达诺,但是在很多年以后他们发现德尔·费罗才是第一个解出三次方程的人。于是卡尔达诺认为自己在米兰的誓言应该是无效的,他在1547年发表了《大术》这篇文章。然后三次方程的解法终于大白于天下,直到今天为止三次方程的解析式,依然以卡尔达诺命名,被称作卡当公式。

但是在这个过程当中,人们就发现你要解除三次方程,有一个必须要过的关,就是要给负数开平方根。你知道2的平方等于4,-2的平方等于几,还是4。所以即便是负数的平方也是正数。因此过去的数学里边认为负数不可能有平方根。因为不可能有一个数的平方是负数。所以怎么可能有负数的平方根这个概念?

但是你为了解三次方程这么一个数学智力题,人们必须得算到那一步,有一个负数你得给它开平方根。没办法。这时候人们的创造力再一次地被推进,人们发明了一个数字叫作复杂的数。一开始把它叫复杂的数,后来觉得复杂的数这个称呼还是不够清晰、简洁。笛卡尔后来给这一类数字起了一个名字叫作虚数。

大家遥远的回忆当中,还有虚数这个概念吧?我不奢望你们知道什么叫虚数,因为我已经忘记了什么叫虚数。反正数学里边学过这个概念,虚数。虚数的概念有多重要?直到几百年以后,人们才真正应用到了虚数的概念。在哪儿?就是波和量子力学里边。我们要去研究量子物理学,没有虚数的概念,你是没法算的。

我爸爸是个数学教授,我爸爸从小就告诉我说,你虽然不知道数学的作用,但是数学是一切科学的基础。就是没有数学上的进步,人们就不可能进一步地了解这个世界。我那时候不理解,我直到今天40多岁的时候,我读到这本书,我才知道,人们只有发明了数学工具,才有可能在物理的世界里边进行进一步的深入的探索和研究,真是了不起。

从此代数进入了抽象的领域,也就是我们没法再往下讲的领域了。这个作者说你也别指望我跟你讲明白,因为我也不懂。这个实在是太难了,这是非常专业的数学领域。但是我们就要知道,代数学是远远超过我们现实世界所看到的东西,只有它在不断地延伸和发展,我们这个现实世界才能够跟得上,这是我们说整个代数发展的过程。

那么数学是怎么推动整个人类发展的?咱们举几个例子,比如说大家能够认知的给我们的价值观带来改变的人。比如说伽利略,伽利略是一个典型的推动这个世界进步的人,伽利略发明了天文望远镜,伽利略观测到了土星环和太阳黑子,然后他还研究了金星的周期,发现了木星的卫星,他是日心说的倡导者,伽利略第一个提出了,一个物体在没有外力干扰的情况下,它是保持匀速直线运动或者静止的。那这个跟我们的观测是完全不一样的,我们看到一个东西说它明明不动,但是伽利略认为它会匀速直线运动一直下去。我们看到的是,它扔出去就掉地上了,但是伽利略又说,那是因为有重力的作用。所以牛顿说我是站在巨人肩膀上发现这一切的。那你知道伽利略还做了自由落体,在比萨斜塔做自由落体的运动等等。

伽利略就是塔尔塔利亚的徒孙,就是当年那个证明三次方程的数学家的徒孙。伽利略认为,自然有它内在的规律,被数学法则所控制。所以他可以通过不断重复性的实验来发现这些数学的规则,这就是数学对于伽利略的启发。

那我们再说牛顿。牛顿的公式——F=(G*m1*m2)/r²,就能够算出万有引力。没有万有引力定律,我告诉你,各位,连个大炮都打不准。就是你的大炮从这儿发射到那一端,能打到那个点上,为什么打得准?它一定是用公式算出来的。

这里边最精彩的一段就是,在18世纪末,几位天文学家发现了天王星——当时已知的太阳系最外侧的行星的运行轨道并不规则,天王星并没有严格地遵循人们按照万有引力计算出来的路径运行。面对这种现象只能有两种解释:要么是牛顿的理论错了,要么还存在着,另外一些未知的天体对天王星的轨道产生了干扰。从天王星的观测轨迹入手,勒维耶开始计算这颗假定的新行星的位置。他花了整整2年的时间努力演算,最终得出了一个结果。

接下来就是见证奇迹的时刻,1846年9月23号和24号晚上,德国天文学家,约翰·格弗里恩·伽勒,将望远镜对准了勒维耶计算出来的那个方向,他仔细地在视野中寻找,然后他发现了它。广袤深邃的夜空中,一个小小的蓝色光点。在距离地球,超过四十亿千米的地方,那颗行星就在那里!海王星。这就是数学对我们物理世界的影响。人们坚信数学公式的有效性,然后慢慢地去发现了海王星。

牛顿为了解决,一个物体运行的速度为什么只能算平均速度,就你把这个松果从这儿扔到那个墙上,按照牛顿之前的人算,只能算平均速度。但是牛顿说,明明它每个时点的速度是不一样的,出手的时候最快,到那儿就慢了,要把这个东西准确地算出来。哇,牛顿自己在家里边发明了一套新的数学工具——微积分,然后后来和莱布尼茨两个人同时发表,说我们都发明了微积分。没有微积分,人们就没法认识到有一个东西,叫作无穷小。当我们能够把一个事物分成无穷小的时候,我们才能够接近于limit,就是极限地去计算它的精确度。

那天我在八大处爬山,重阳节的时候,听到两边两个驴友在聊天。北京的驴友层次真的好高,一个驴友就跟旁边那大叔说,知道什么叫微积分吗?那大叔说,你跟我说说。驴友说,你看到地上的台阶了吗?台阶一个一个都是长方形,你把这长方形不断地拼,不断地拼,拼成一个圆,它就是微积分。听起来有点糙,实际上是有道理的。这就是古代人整天研究的化圆为方,你把化圆为方能够化到无穷小,用极小来表述,那就是微积分的思想出现了。所以牛顿是典型的用数学的方法改变了整个人们认知世界方式的这么一个人。

大家知道爱因斯坦颠覆了牛顿的算法,因为爱因斯坦认为,星球和星球之间的力量,不是靠万有引力计算出来的。而是因为太阳有极大的质量,造成了它周围的时间和光的扭曲,形成了一个像盆子一样的轨道。所以这些星球在围绕着太阳这样转,这是我们简单的通俗的说法。

那你怎么能够证明爱斯坦是对的?爱因斯坦说因为光是扭曲的,所以我们应该按照,如果是直线,光是直线走的话,我们是看不到太阳背后那颗星星。但是因为我说光是扭曲的,所以我们从理论上应该能够观测到太阳背后的那颗星。但是你没法看,因为有一个太阳,那么亮,谁也看不着。后来大家就等,爱因斯坦已经算出了那个夹角,就是那个光是经过太阳的时候扭曲到这儿,所以他算出那个夹角的度数,都算出来了。大家就没法证明这件事。

一直到1919年的5月那天,全世界出现了日全食。日全食以后,所有的天文学家就拿起望远镜,朝着爱因斯坦所说的那个方向看了过去,这时候见证了爱因斯坦广义相对论的胜利。这就是又一个层次的数学不同。然后2012年的希格斯玻色子的发现,证实了早先预设中的粒子物理学的标准模型,以及2015年9月14号引力波的存在首次被检测到。

为了让他们的发现获得合法性,所有伟大的科学发现都需要数学的帮助,即代数方程和几何图形的帮助。数学已经展现出了它们不可思议的强大力量,在今天,没有任何一条,严谨的物理学理论敢用除了数学语言之外的其他语言进行描述。

就是你说我发现了一个定理,我用诗一样的语言描述出来,没用,排比句都没用。你必须得用数学的语言描述出来,才能够被全世界认知、了解。这就是数学的重要性,也是数学的魅力所在。这里边就到了,爱因斯坦所说的,竟然如此简洁,我们的自然能够如此优雅地使用数学语言和我们交谈,这是多么神奇的一件事。大自然用这么简洁的方式跟我们沟通。

奇迹的出现并不仅仅在于万有引力。电磁现象、基本粒子的量子机能,时-空的相对变形,所有这些现象都能够,以简洁得令人吃惊的数学语言表达。这个最著名的公式E=mc²,这个由爱因斯坦建立的等式,展示了物体质量与能量之间的等价关系。这个通常被认为是关于我们生存的这个宇宙,最迷人、最深刻的原理的代数公式,仅仅有五个符号构成。这是怎样的神奇?关于这种神奇,爱因斯坦说过一句著名的话,“宇宙最不可理解之处,就是它居然可以被理解”。

所以人们对于宇宙还有特别多复杂的疑问,这个作者讲,读者们,请别指望我能够给你们答案。我也要告诉大家,不要指望我能够给你们答案。我们就希望听过这本书的人能够对数学有一点好感,有一点亲近的感觉。如果是一个孩子,你完全有机会成为伟大的数学家。还有图灵机的发现到计算机,到今天的万维网。这个世界越来越复杂,然后复杂科学,混沌科学,混沌数学,复杂代数,全部都是从最早的我们所说的那个美索不达米亚的那些楔形的数字演化到今天的。

那么我们讲讲未来的数学什么样?20世纪数学界最闪耀的宝石,应该被称作曼德博集合。什么叫曼德博集合?我给大家一组数字,0 2 6 38 1446,你会觉得这数字也太离谱了。这是什么数列?这个数列有一个公式,就是0,这是第一个数字,第二个数字什么呢?0的平方加2,这不就是2。然后2的下一个数字什么呢?2的平方加2,是6。然后再下一个数字,6的平方加2,38。然后38的平方加2,1446。

然后当人们把这个数列,用图形的方式表达出来了以后,你会发现,就是如果把这组数列,背后的那个数字你可以不加2,你可以加1,可以加3,可以加不同的数字,我们慢慢就会生成这样一幅图。你有没有发现它是一个完美对称的图形?很像我们自然界当中的图形,你再往后翻一页,你会发现不可思议的东西出现了,像不像雪花?像不像章鱼的触角?整个世界竟然有着如此完美的分形。

所谓分形是什么?就是你看雪花,这么大一片,你把雪花其中的一支拿出来看,它是很多个这样的小小的东西组成的。你再往小看,又是很多小小的这个东西组成的。你在太空中看那个海岸线,海岸线的那个岩石的样子,然后再往下浓缩,找一块石头。看这个石头上凸出的纹路,再往下细小,竟然都一样。这个东西就是我们整个自然界分形这个现象的来源。

所以一直到20世纪80年代,在电子计算机的帮助下,人们才最终获得了精确的图形,法国数学家本华·曼德博是第一批深入研究这个图形的几何性质的学者之一。于是后来他的数学家同事们就给这个图形命名为“曼德博集合”。曼德博集合非常迷人!它的轮廓是一个几何花边,具有不可思议的和谐性和精确性。如果放大它的边界,你会看到越来越无限精细的、以令人难以置信的方式雕琢而出的图案(它可以无限地分下去,就这个数列。)。

如果需要根据奇形怪状的复杂方程,专业而混乱的计算过程或者荒谬离奇的数学结构来画出这样的美妙图形,我们或许可以说:“当然了,这个图形是美丽的,但它完全是‘人’造的,所以没什么意思。”可是,并不是这样,这个图形仅仅是一些数列的基本性质的几何表示,而这些数列的定义只需要几个字就能说清楚。从一个如此简单的规则出发诞生了如此美妙的几何奇迹。这种发现必然再次引起关于数学本质的大讨论:什么是数学的本质?数学到底是人类的发明,还是一种独立的存在?数学家到底是创造者,还是发现者?

这个问题值得我们深思,是我们人造了这么一套体系,还是我们人逐渐摸索到了自然原本就存在的秘密的体系,这就是探索的过程。的确,在几乎所有的科学领域,我们总是能够发现那些特别美的事物。天文学家提供给我们的天体照片,我们惊叹于星系的形状、彗星闪闪发光的尾部,或者星云瑰丽的色彩。宇宙是美丽的,确实如此,我们运气很好。但是我们也必须得承认,如果宇宙不是这么美丽,我们也没有什么办法。数学家有时候也不知道自己在做什么。往往在数学家去世很久很久以后,他们创造出的数学才完全揭开了自己的秘密和真正的属性。又或许我们也依然猜不出这些数学在下个世纪,将会实现怎样的应用。只有时间知道如何给出合适的距离,来欣赏数学创造所具有的真正价值。

我读到这一段的时候就想起来我爸爸告诉我,他这一辈子他认为算得最棒的一个公式。他那时候在西北农业大学农机系,农机系就要搞农业机械,农业机械里边有一个,就有一个机器的刀头,是一个不规则的曲面。这个刀头就很难生产,因为人们不知道这个刀头的公式,人们只能够看到是那么样的一个人国外进口来这么一个曲面,这么一个曲面的刀头。每次生产就要铸模,就要干吗,经常出现误差,那个刀头就会出问题。

后来我爸就把那个刀头拿回家,自己就测量那个刀头上的数据,测量完了以后,我爸爸闷头在家里边算出了那个曲面刀头的方程,就是叫作曲面方程。他把那个曲面方程算出来了以后,生产那个刀头再也没有问题,就是因为人们知道了那个刀头的曲面的规律。当时他们的校长,还有这方面的专家都觉得这个年轻人真的了不起,能够无中生有地找出一个公式来。事实上就可能像是那些伟大的数学家去发现了宇宙的那些更加终极的秘密一样,这就是数学对我们的影响和它的美好之处。

最后还有一个小知识传递给大家,大家见过那种正多面体吗?正多面体。见过吗?比如我们会看到正四面体,周围都是三角型的那个,正四面体,还有正六面体。就是大家见过魔方这样的东西,还包括正八面体。那么最多能够正多少面体呢?人们甚至以为它可以无限地区分,而且有很多的这种文化衍生品都做成很多个侧面这样的。但是事实上,早在古希腊的时候,泰阿泰德就已经揭示了这个秘密,所有的正多面体最多是二十面体,也就是我们说的四面体、六面体、八面体、十二面体、二十面体。这个东西被叫作柏拉图立体,实际上跟柏拉图没有任何关系,是泰阿泰德发现的。

那么直到今天我们看到足球,足球都是十二面体,最多是二十面体。它可以不断地切,但是它永远的那个顶点都是这么多。而这个东西跟我们有什么关系?你们如果去了解你们身体里的那些病毒,都是接近于正十二面体,或者是正二十面体的。因为用这样的方式生长是最均衡的,这就是整个世界的奇妙之处。

所以,我没法讲出整本书所有奇妙的东西,我给大家梳理的是数学整个发展的历史和过程。我们能够知道我们今天所学的那些代数、几何、立体几何、解析几何都是有它的渊源的,而且它在人类的历史上是多么酷,多么重要。所以每一个孩子,我劝大家一定要爱上数学。因为它既美又神秘,它才是真正这个世界上最酷的事情。希望这本书能够让所有人亲近数学,谢谢大家 我们下周见。

来源于:万物皆数

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